Liz Euse a écrit :

> En supposant une binarité du genre, et une équirépartition des genres, une chance sur 3.

En supposant une binarité du genre, une équirépartition des genres, la réponse n'est pas 1/3

Edit: question annexe : si la réponse était 1/3, que pourrait-on en conclure ?

Je suis circonspect.
Je doute que la réponse soit 1/2. Ce serait difficilement une énigme mais bon moi j'ai cherché compliqué alors ça peut marcher comme attrape-nigauds.

Si on a deux enfants, on a :
1/4 que ce soit deux garçons
1/2 que ce soit un garçon et une fille
1/4 que ce soit deux filles

Si on sait que l'un d'eux est une fille, on exclut automatiquement la première option.
Il reste trois alternatives, deux d'entre elles sont garçon+fille et la dernière est fille+fille.

D'où le 1/3.

Mais bon, j'admets bien volontiers que j'ai jamais été bon en probabilité.

Liz Euse a écrit :

En fait, la réponse est bien 1/2, et il y a une erreur dans ton raisonnement. Mais la raison pour laquelle je pose la question, c'est qu'on voit très souvent ce raisonnement erroné (y compris de la part de collègues profs de maths). Et accessoirement, ça a créé un peu de drama pendant notre repas de Noël familial.

Le début est juste : il y a 4 situations équiprobables : FF, FG, GF, et GG. Mais ensuite, tu ne sais pas uniquement qu'il y a au moins une fille. Tu sais que c'est une fille qui t'ouvre la porte. On peut donc prolonger la situation :

FF => si un enfant ouvre, c'est forcément une fille.
FG => une chance sur deux que ce soit une fille ou un garçon qui ouvre
GF => idem
GG => forcément un garçon

Autrement dit, si on note FO (une fille ouvre la porte) et GO (un garçon ouvre la porte), l'arbre ressemble à :

FF [1/4] 
 => FO [1]
FG [1/4]
 => FO [1/2]
 => GO [1/2]
GF [1/4]
 => FO [1/2]
 => GO [1/2]
GG [1/4]
 => GO [1]

Au final, la probabilité qu'une fille ouvre est de 1/2, et la probabilité de FF sachant FO est de 1/2 (25% / 50%).

Note que si on suppose que c'est toujours l'aîné qui ouvre, la proba reste 1/2 avec l'arbre :

FF [1/4] 
 => FO [1]
FG [1/4]
 => FO [1]
GF [1/4]
 => GO [1]
GG [1/4]
 => GO [1]

On atteint une proba 1/3 si on suppose que dans une famille fille/garçon, c'est forcément une fille qui ouvre la porte. Ou si on sait seulement que la personne a une fille sans rien qui permette de la distinguer (ici, ce qui la distingue, c'est d'ouvrir la porte).

De manière amusante, on peut créer des distinctions partielles. Ainsi, si l'énoncé était "la personne a une fille née dans la première moitié de l'année, quelle est la proba que l'autre enfant soit une fille ?", alors la réponse n'est ni 1/2 ni 1/3.


Et c'est là que les gobelins reviennent parce que :
=> la proba que l'autre enfant soit une fille sachant qu'on a une fille née au premier semestre est de 3/7
=> la proba que l'autre enfant soit une fille sachant qu'on a une fille née au deuxième semestre est de 3/7
=> Mais la proba que l'autre enfant soit une fille sachant qu'on a une fille dont on ne connait pas le semestre de naissance est de 1/3

En exercice : en supposant équirépartition des jours de naissance, calculer la proba que l'autre enfant soit une fille sachant qu'on a une fille née un mercredi.

Uncurieux a écrit :




J'avais bien le bon arbre au début. Mais j'étais convaincu que le raisonnement n'était pas bon, parce que 1/2 est la réponse évidente, et que normalement une énigme piège le néophyte .


De tête, j'obtiens 13/27 pour l'exercice. Plus on donne une information précise sur une variable, plus l'indépendance des deux variables se voient, et plus on tend vers 1/2?

Liz Euse a écrit :

> De tête, j'obtiens 13/27 pour l'exercice.

Yes

> Plus on donne une information précise sur une variable,
> plus l'indépendance des deux variables se voient, et plus on tend vers 1/2?

Ma vision intuitive des choses, c'est que plus tu donnes des infos sur la variable, et plus tu réduis la possibilité que tu sois en train de parler des deux à la fois. Si tu regardes le calcul, la proba d'avoir une fille qui est née un mercredi quand il y a deux filles, c'est Proba(1 fille née un mercredi) + Proba(1 fille née un mercredi) - Proba(2 nées un mercredi) = 1/7+1/7-1/49 = 13/49. Sans le dernier terme, tu retomberais pile sur une proba finale de 1/2. 'fin bon, je trouve ça rigolo, quoi, merci d'avoir cherché (et t'es pas néophyte du tout, te laisse pas faire !)

Question subsidiaire : tu es à la kermesse du lycée de tes enfants, et tu sais qu'un autre parent d'élève a deux enfants, tous les deux dans ce lycée. A un moment tu vas aux chiottes, et les chiottes des hommes et des femmes sont évidemment séparée. Et donc, dans les chiottes, tu croises l'un des enfants de cet autre parent d'élève (que tu reconnais parce qu'il a exactement la même tronche que ses parents) ; cet enfant est donc du même sexe que toi (si tu es un homme, tu es allé dans les chiottes des hommes, et donc tu n'as pu y croiser qu'un garçon).

Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit du même sexe ?

Indice : ici on a P(avoir croisé un enfant de l'autre sexe dans les chiottes) = 0.


Explication intuitive, sans gobelin des maths : c'est quand même un sacré hasard d'avoir croisé un des enfants de ce parent d'élève aux chiottes. D'un autre côté, s'il a deux enfants du même sexe, y avait deux fois plus de chance que ce hasard "inouï" arrive que s'il a deux enfants de sexe différent.

En somme, si l'obtention de l'info repose sur un heureux hasard, alors cet heureux hasard avait plus de chance de se produire dans certaines configuration que dans d'autres. Il me semble qu'on peut construire des situations où P(deux enfants de sexe différents) approche 0, mais je sais plus comment et je sais plus le raisonnement qui permet de casser cette proba à 1/3 x) (a priori faut rendre le hasard d'obtention de l'info de plus en plus incroyable - genre obtenir par hasard que l'un des enfant est de même sexe et est né exactement le même jour que nous. Genre, être dans le club des hommes nés le 29 février - on pouvait pas y croiser la fille de notre ami, mais c'était quand même extrêmement improbable d'y rencontrer son fils).

A noter que la situation que j'ai décrit est plus réaliste que d'autres façons de poser le problème (qui en vrai rendent le problème mal posé) : le coup de "j'ai deux enfants, l'un d'eux est une fille née un mercredi", personne dit ça ; et si l'info est obtenue dans une conversation du style "j'ai deux enfants - OK, est-ce que tu peux me dire le sexe et le jour de naissance de l'un d'eux ? - Oui, j'ai une fille née un mercredi", alors le jour de naissance n'ajoute strictement aucune info, et la proba que l'autre soit une fille reste à 1/2 (dit autrement, le type avait une fille née un mercredi et un garçon né un mardi, il avait une chance sur deux de choisir chacun, pareil pour chaque sexe et chaque jour de naissance... Faites votre arbre avec les 4*7*7 possibilités si ça vous chante, le raisonnement intuitif est ici bien plus efficient) : il faut que l'info supplémentaire soit obtenue par hasard aussi pour que les probabilités se décalent (elles se décalent par le fait que ce hasard est moins incroyable si le type a deux enfants de même sexe), ce qui rend la façon habituelle de poser ce problème mal posée (1/2 reste généralement une réponse valable, selon la façon dont on interprète comment l'info a été obtenue).

En passant, pour le "gobelin des maths" du monthy hall (les trois porte avec les chèvres et la voiture) : 1/2 de gagner et 2/3 de gagner en changeant de porte sont deux réponses valable pour beaucoup de façon de poser le problème. Il existe des façon de poser le problème forçant la réponse à 2/3 ; mais tant qu'on ne précise pas explicitement que le présentateur sait où se trouve la voiture et ouvre systématiquement une porte avec une chèvre, alors l'interprétation "le présentateur ouvre une porte au hasard, et dans le cas donné dans le problème c'était par hasard une chèvre derrière" est valable, et met la proba de gagner en changeant de porte à 1/2 (parce qu'il faut prendre en compte dans l'arbre de proba les cas où le présentateur ouvre une porte avec la voiture derrière).

C'est dans le cas où le présentateur connaît la bonne porte et ouvre exprès une mauvaise qu'on gagne une info donnée par le présentateur, et c'est cette info qui décale la proba.


Bref : rien de magique ni de gobelins des maths. Juste des questions d'infos supplémentaire et, souvent, de problèmes mal posés avec des gens qui assurent malgré tout qu'il n'y a qu'une seule réponse. Dans les problème de ce genre, pour comprendre la "magie", essayez de comprendre à quel moment on a gagné une info (connaissance du présentateur dans le Monthy Hall, hasard d'obtenir l'info dans les deux enfants, autre dans d'autres problèmes).


Et edit au post précédent : en fait je suis vraiment pas sûr qu'on puisse faire chuter la proba de "deux enfants de sexe différents" à zéro... Je sais plus T_T .

Gonzo a écrit :



Non?


C'est-à-dire?

Quelle est selon toi la réponse à donner, et en quoi est-elle plus efficiente?

Déjà j'ai l'impression que je me suis planté : quelle que soit la façon dont on a obtenu l'info sur le sexe du premier enfant, la proba que l'autre soit du même sexe est toujours entre 1/3 et 1/2.

En gros : vous faites un sondage "pensez à un couple d'amis qui ont deux enfants, dont une fille. L'autre enfant est-il une fille ?", vous êtes sensé obtenir 1/3 de réponses positive. Vous faites un sondage "pensez à une fille, qui a soit un frère soit une soeur. Est-ce qu'elle a une soeur ?", vous êtes sensé obtenir 1/2 de réponses positives. Sauf que ni dans un cas, ni dans l'autre, vous n'obtiendrez le résultat escompté (ne serait-ce que parce que certaines personnes vont répondre à l'autre question : il y a de très fortes chance que si vous posiez la première question à quelqu'un de 12 ans, il commence par penser à une de ses camarade de classe qui a un frère ou soeur, puis passe à ses parents en tant que le couple qui répond à la question, et réponde ainsi à la seconde question. Inversement, chez les gens plus âgés, certains vont répondre à la première question au lieu de la seconde...). Hourrah pour les proba qui ne représentent rien ! \o/ Et c'est justement incroyablement difficile de faire un problème bien posé sur des probas qui ne représentent rien, mais qu'on veut quand même poser en terme humains (et pas juste sous la forme "on a 4 événements équiprobables, et leur proba sachant un autre événement est...")

Bref, en gros on a besoin de pF la proba que l'événement montrant que le pote a une fille se réalise, pG pareil pour un garçon, et pFF (la proba qu'il se réalise avec deux filles) et pGG. Dans le cas des chiottes, on a pF = 0 (en imaginant que je soit un garçon, donc j'ai pu rencontrer qu'un garçon dans les chiottes), pGG (la proba de rencontrer les deux garçons dans les chiottes) = pG^2 (on peut estimer une indépendance).
ça donne :

P(il a deux garçons | j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes) =
= P(il a deux garçons et j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes)/P(j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes)
= P(j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes | il a deux garçons)*P(il a deux garçons)/P(j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes)
or:
$ P(j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes | il a deux garçons) = 2*pG - pGG
$ P(il a deux garçons) = 1/4

donc
P(il a deux garçons | j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes) = 1/4*(2*pG - pGG)/P(j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes)

et de la même façon :
P(il a un garçon et une fille | j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes) =
= 1/2*pG/P(j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes)

On pourrait croire qu'on est bloqué parce qu'on ne connait pas P(j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes), sauf qu'on s'en fout : on sait que la somme des deux probas fait 1, et leur division est désormais connue :
P(il a deux garçons | j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes)/P(il a un garçon et une fille | j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes) = 1 - 1/2*pGG/pG = 1-1/2*pG

Et on sait résoudre ce genre de système, si je me suis pas planté (et j'ai l'impression que si... ) ça donne un truc qui vaut 1/3 quand pG vaut 1 et qui approche 1/2 à mesure que pG approche 0 (en gros, si c'était sûr et certain que j'allais rencontrer un de leur fils s'ils en ont un, et que je l'ai effectivement rencontré, alors ils ont deux chance sur trois d'avoir une fille - je crois qu'elle est là, l'info gagnés : j'étais sûr de rencontrer leur fils s'ils en ont un).




Liz Euse a écrit :

>
> C'est-à-dire?
>
> Quelle est selon toi la réponse à donner, et en quoi est-elle plus efficiente?

Bah justement, le problème est "comment ai-je appris qu'ils ont une fille née un mercredi, et est-ce que ça me donne une inf de façon plus ou moins indirecte ?"

Si le mec te dit "j'ai deux enfant. L'une est une fille née un mercredi", alors tu n'as aucune info : il a deux enfant, il en a choisit un pour te donner des infos dessus, ça ne donne pas d'info sur le second. Tu peux réfléchir en d'autres termes : je te dis ça, à ce stade je te propose de miser 2 euros, tu en gagnes 1.5 (et reprends ta mise) si mon deuxième enfant est un garçon, sinon je garde tes deux euros. Si tu estime ta proba de gagner à 2/3, alors tu devrais jouer (espérance de gain : 2/3*1.5 -2*3 >0) (parce que c'est sensé être ça, des probas dans un tel contexte : une façon de calculer ton gains si tu répètes ce jeu avec plein de gens) (et oui, c'est bien beau de faire des problèmes de proba en termes humains plutôt qu'en logique formelle, mais alors faudrait veiller à ce qu'on pense à les appliquer dans ce à quoi quoi elles servent quand on les exprime ainsi : évaluer des espérances de gains, entre autre). Est-ce que tu joues, ou est-ce que tu estimes que tu n'as aucune info sur le second enfant et que donc ta chance de gagner est 1/2 ?

A l'inverse, si j'apprend par hasard que tu as une fille et qu'elle vérifie un événement particulièrement improbable ("OK, juste une seule question : est-ce que tu as une fille né le 29 février ? - ça alors, oui !"), alors j'ai la sensation que cet événement improbable avait bien plus de chances de se réaliser si tu as deux filles plutôt qu'une fille et un garçon, et que je peux donc miser sur deux filles... Sauf que mes calculs ont pas l'air de montrer ça :/ . Mais bref, dans ce genre de cas, oui il y a une altération des probas, parce que le fait de découvrir un truc improbable par hasard (en gros, de réaliser un autre événement aléatoire) altère les probas.

Mais bref, le raisonnement intuitif commence par se demander "qu'est-ce que j'ai appris comme nouvelle info ?", et de ne se lancer dans les calculs que si on pense avoir une nouvelle info, ou a minima si on n'est pas sûr. Si la réponse est "aucune nouvelle info", on répond "1/2" sans calcul, jusqu'à ce que quelqu'un nous "montre" le contraire, auquel cas on y regarde sa démonstration (et soit on y trouve une erreur, soit on y trouve une hypothèse implicite qui permet d'ajouter effectivement de l'info, soit on y trouve l'info qu'on avait loupé - c'est exactement comme ça que fonctionne le Monthy Hall, en déroulant la démo on y trouve que le présentateur a révélé une info qu'il avait, et ensuite soit on se rend compte l'énoncé était clair, soit que c'est une hypothèse implicite prise dans la démo sans qu'elle soit dans la formulation. Et le problème des deux enfants, comme en général la façon dont a été trouvée l'info du jour de naissance ou autre n'est pas révélée dans l'énoncé, "1/2" est toujours une réponse valable : on peut partir du principe qu'on a juste quelqu'un qui a pris un de ses enfants au hasard pour donner des infos dessus, ça ne dit rien sur le second).

1-1/2*p
c'est manifestement entre 1/2 et 1 et, enfin, on se rappelle que la somme de ces deux nombre vaut 1.
1/2 < x/y = 1-1/2*p < 1
x+y = 1
1/2 < x/(1-x) < 1
1/2 - 1/2*x < x < 1 - x
1/2 - 1/2*x < x < 1 - x
3/2*x > 1/2
2*x < 1
1/3 < x < 1/2

flute j'ai laissé mon brouillon de calcul à la fin du post précédent x) .